ادامه حل تمرین صفحه 29 ریاضی دوازدهم

حل تمرین 6 صفحه 29 ریاضی دوازدهم تابع اصلی $f(x) = x^2 - 4x + 5$ یک سهمی است و یک به یک نیست. ### 1. محدود کردن دامنه (ایجاد تابع یک به یک) 1. **تعیین رأس سهمی:** با استفاده از $x_V = -\frac{b}{2a}$: $$x_V = -\frac{-4}{2(1)} = 2$$ 2. **محدودیت دامنه:** تابع در $(-\infty, 2]$ نزولی و در $[2, +\infty)$ صعودی است. یکی از این بازه‌ها را انتخاب می‌کنیم. $$\mathbf{\text{تابع یک به یک: } f(x) = x^2 - 4x + 5 \text{ ; } D_f = [2, +\infty)}$$ 3. **برد تابع اصلی ($R_f$):** $f(2) = 2^2 - 4(2) + 5 = 4 - 8 + 5 = 1$. برد تابع $R_f = [1, +\infty)$. ### 2. تعیین ضابطه و دامنه و برد وارون 1. **تعیین ضابطه وارون $f^{-1}(x)$:** $y = x^2 - 4x + 5$. با روش مربع کامل: $$y = (x^2 - 4x + 4) + 1$$ $$y - 1 = (x - 2)^2$$ $$\text{چون } x \in [2, +\infty) \text{، پس } x - 2 \ge 0 \text{. بنابراین: } x - 2 = \sqrt{y - 1}$$ $$x = 2 + \sqrt{y - 1}$$ $$\mathbf{\text{ضابطه وارون: } f^{-1}(x) = 2 + \sqrt{x - 1}}$$ 2. **دامنه و برد وارون:** * **دامنه $D_{f^{-1}}$:** برابر $R_f$. $\mathbf{D_{f^{-1}} = [1, +\infty)}$ * **برد $R_{f^{-1}}$:** برابر $D_f$. $\mathbf{R_{f^{-1}} = [2, +\infty)}$ ### 3. رسم نمودار * **$f(x)$:** سهمی رو به بالا با رأس $(2, 1)$ که فقط قسمت سمت راست رأس رسم می‌شود. * **$f^{-1}(x)$:** نمودار $y = \sqrt{x}$ است که ۲ واحد به بالا و ۱ واحد به راست منتقل شده است. شروع آن از $(1, 2)$ است و قرینه $f(x)$ نسبت به $y = x$ است.

حل تمرین 7 صفحه 29 ریاضی دوازدهم ### 1. تعیین توابع وارون $f^{-1}$ و $g^{-1}$ * **تابع $f$:** $f(x) = \frac{1}{8}x - 3$. $$y = \frac{1}{8}x - 3 \implies \frac{1}{8}x = y + 3 \implies x = 8y + 24$$ $$\mathbf{f^{-1}(x) = 8x + 24}$$ * **تابع $g$:** $g(x) = x^3$. $$y = x^3 \implies x = \sqrt[3]{y}$$ $$\mathbf{g^{-1}(x) = \sqrt[3]{x}}$$ *** ### الف) $(f \circ g)^{-1}(5)$ از خاصیت $(f \circ g)^{-1}(x) = (g^{-1} \circ f^{-1})(x)$ استفاده می‌کنیم، یا مستقیم محاسبه می‌کنیم. **روش اول (محاسبه مستقیم):** $$(f \circ g)(x) = f(g(x)) = f(x^3) = \frac{1}{8}x^3 - 3$$ $$(f \circ g)^{-1}(5) = a \implies (f \circ g)(a) = 5$$ $$\frac{1}{8}a^3 - 3 = 5 \implies \frac{1}{8}a^3 = 8 \implies a^3 = 64$$ $$\mathbf{a = 4}$$ **روش دوم (استفاده از وارون):** $$(f \circ g)^{-1}(5) = g^{-1}(f^{-1}(5))$$ $$f^{-1}(5) = 8(5) + 24 = 40 + 24 = 64$$ $$g^{-1}(64) = \sqrt[3]{64} = 4$$ $$\mathbf{(f \circ g)^{-1}(5) = 4}$$ *** ### ب) $(f^{-1} \circ f^{-1})(6)$ $$(f^{-1} \circ f^{-1})(6) = f^{-1}(f^{-1}(6))$$ 1. **محاسبه $f^{-1}(6)$:** $$f^{-1}(6) = 8(6) + 24 = 48 + 24 = 72$$ 2. **محاسبه $f^{-1}(72)$:** $$f^{-1}(72) = 8(72) + 24 = 576 + 24 = 600$$ $$\mathbf{(f^{-1} \circ f^{-1})(6) = 600}$$ *** ### پ) $(g^{-1} \circ f^{-1})(5)$ $$(g^{-1} \circ f^{-1})(5) = g^{-1}(f^{-1}(5))$$ 1. **محاسبه $f^{-1}(5)$:** $$f^{-1}(5) = 8(5) + 24 = 64$$ 2. **محاسبه $g^{-1}(64)$:** $$g^{-1}(64) = \sqrt[3]{64} = 4$$ $$\mathbf{(g^{-1} \circ f^{-1})(5) = 4}$$